牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

推导过程

针对方程 \( f(x) = 0 \), 有：

$$ f(x_0) = y_0 $$ $$ f(x_1) = y_1 $$

令 k 为关于点 \( (x_0, y_0) \) 在 \( f(x) \) 上的曲线斜率，则：

$$ y_1 - y_0 = k(x_1 - x_0) $$

令 \( y_1 = 0 \), 求解 \( x_1 \) 值，即为方程 \( f(x) = 0 \) 的解：

$$ 0 - y_0 = k(x_1 - x_0) $$ $$ x_1 = x_0 - y_0 \over k $$ $$ x_1 = x_0 - {f(x_0) \over k} $$

其中斜率 \( k \), 可以通过对 \( f(x) \) 求导得出，则

$$ x_1 = x_0 - {f(x_0) \over f^\prime(x_0)} $$

对以上公式迭代，则

$$ x_{n+1} = x_n - {f(x_n) \over f^\prime(x_n)} $$