牛顿迭代法
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牛顿迭代法(Newton’s method)又称为牛顿-拉夫逊(拉弗森)方法(Newton-Raphson method),它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
推导过程
针对方程 \( f(x) = 0 \), 有:
$$ f(x_0) = y_0 $$ $$ f(x_1) = y_1 $$
令 k 为关于点 \( (x_0, y_0) \) 在 \( f(x) \) 上的曲线斜率,则:
$$ y_1 - y_0 = k(x_1 - x_0) $$
令 \( y_1 = 0 \), 求解 \( x_1 \) 值,即为方程 \( f(x) = 0 \) 的解:
$$ 0 - y_0 = k(x_1 - x_0) $$ $$ x_1 = x_0 - y_0 \over k $$ $$ x_1 = x_0 - {f(x_0) \over k} $$
其中斜率 \( k \), 可以通过对 \( f(x) \) 求导得出,则
$$ x_1 = x_0 - {f(x_0) \over f^\prime(x_0)} $$
对以上公式迭代,则
$$ x_{n+1} = x_n - {f(x_n) \over f^\prime(x_n)} $$